Círculos de Malfatti: cómo desperdiciar la menor cantidad de mármol posible

Malfatti describe el motivo de esta tarea de ingeniería al comienzo de su texto publicado en 1803. Supongamos que tienes un prisma de ángulo recto, por ejemplo de mármol, y quieres recortarle tres cilindros circulares para que tan poco material como posibles restos: ¿cómo están dispuestos estos cilindros y cuáles son sus radios? Por supuesto, este problema tridimensional se puede traducir fácilmente a dos dimensiones, y Malfatti pensó que su construcción dada por las tres fórmulas sería la respuesta.

A primera vista, esto parece completamente razonable. Tienes que mirar más de cerca para ver que hay mejores soluciones. Por ejemplo, si imaginamos un triángulo muy largo, angosto y rectángulo, según Malfatti, debemos dibujar dos círculos pequeños apilados uno encima del otro en el extremo ancho del triángulo y un círculo más grande al lado tocando los dos círculos más pequeños. unos. En lugar de eso, simplemente podemos comenzar dibujando el círculo inscrito que llena el extremo ancho del triángulo, luego un círculo un poco más pequeño al lado y otro más pequeño al lado del segundo. Entonces ya no cumplen las condiciones de Malfatti, pero claramente cubren un área mayor que el triángulo.

El algoritmo codicioso proporciona la solución.

Esto se probó matemáticamente en la década de 1930; sorprendentemente, tomó más de 100 años. Aún más sorprendente es la prueba de 1967 de Michael GoldbergLos círculos de Malfatti nunca pueden ser perfectos, pero siempre hay tres más que cubren más terreno. Puede obtener la mejor solución posible con un archivo «algoritmo codicioso» hallar: Primero encuentra el círculo que cubre la mayor área posible en el triángulo. Luego se determina el círculo que puede ocupar más espacio en las áreas restantes; El tercer círculo se determina de la misma manera. De esta manera siempre encuentras la solución perfecta, al menos si solo usas tres circuitos. Si este algoritmo codicioso también puede encontrar la solución óptima para cuatro o más circuitos es cuestionable pero no probado.

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Chiquita Velazco

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